ตีโจทย์ความน่าจะเป็นในตำนาน The Monty Hall Problem

The Film

อาทิตย์ที่ผ่านมา แอดนั่งเปิดหนังดูไปเรื่อยใน Netflix แล้วไปโดนเรื่อง 21 (ปี 2008) นำแสดงโดย Jim Sturgess (เล่นเป็น Ben Campbell), Kevin Spacey (เล่นเป็น Micky Rosa) และ Kate Bosworth (เล่นเป็น Jill Taylor) เป็นการดูซ้ำรอบสองที่สนุกกว่าเดิม

พล๊อตเรื่องคือพวกพระเอกเป็นเด็กนักเรียน MIT เก่งเลขมาก เลยรวมตัวกันไปเล่นไพ่ Blackjack (21) กันที่ Las Vegas แล้วก็มีเรื่องดราม่าระหว่างทาง บลาๆ ลองหาดูกันเองนะ แต่ประเด็นอยู่ที่ …

ฉากหนึ่งในหนังที่ Micky Rosa ถามพระเอก Ben Campbell ให้อธิบายปัญหาความน่าจะเป็นที่ดังมากๆเมื่อ 50 ปีก่อนที่ชื่อว่า Monty Hall Problem จากเกมโชว์ Let’s Make A Deal

• บนเวทีมีประตูอยู่ทั้งหมด 3 บาน
• หลังประตู 1 บานจะมีรางวัลเป็นรถยนต์
• อีก 2 บานจะมีแพะเป็นของปลอบใจ (แพะจริงๆ !!)
• ผู้เข้าแข่งขันจะเลือกประตูได้หนึ่งบาน ทายถูกก็เอารถกลับบ้านไปเลย
• แต่ปัญหานี้ซับซ้อนกว่าที่เราเห็นนิดหน่อย บทความวันนี้เรามาวิเคราะห์ปัญหานี้ด้วยกันฮะ

---

The Theory

หนึ่งในหัวใจของทฤษฏีความน่าจะเป็น หรือที่ฝรั่งเรียกกันว่า Probability Axioms ข้อสองกล่าวว่า – the probability of the entire sample space is one – หรือเขียนในรูปคณิตศาสตร์ได้แบบนี้

ในตัวอย่าง Monty Hall – sample space (S) หมายถึงประตูทั้งสามบาน ความน่าจะเป็นของรถยนต์และแพะสองตัวหลังประตูทั้งสามบานต้องรวมกันได้ 1 เสมอ เขียนเป็นสมการได้แบบนี้

ถ้าเราเลือกได้แค่ประตูเดียวจากทั้งหมดสามประตู ความน่าจะเป็นที่เราจะได้รถยนต์เท่ากับ = 1/3 = 0.33 ส่วนความน่าจะเป็นที่จะได้แพะเท่ากับ  = 2/3 = 0.67

---

The Trick

Monty Hall พิธีกรของรายการโชว์รู้ว่ารถยนต์และแพะอยู่หลังประตูบานไหนบ้าง จะเดินไปเปิดประตูหนึ่งบานที่มีแพะอยู่ ทำให้ตอนนี้เหลือสองประตูที่ปิดอยู่ (บานที่เราเลือกในตอนแรก และอีกบานหนึ่งที่เราไม่ได้เลือก) และ Monty จะถามเราว่า …

“คุณจะเปลี่ยนใจไปเลือกประตูอีกบานที่ปิดไว้ไหม?”

และคำตอบที่ถูกต้องในสถานการณ์นี้คือ เราควรเปลี่ยนไปเลือกอีกประตูที่ไม่ได้เลือกในตอนแรก เพราะความน่าจะเป็นที่จะได้รถยนต์ของประตูบานนี้เพิ่มขึ้นเป็น 0.67 แล้ว หืมมม จริงอ่ะ?!!

ปัญหาความน่าจะเป็นนี้ถูกแก้ได้สำเร็จครั้งแรกโดย Steve Selvin ในปี 1975 ซึ่งจริงๆมันง่ายมากเลย ถ้าเราย้อนกลับไปดู Probability Axioms ก็จะตอบปัญหานี้ได้ทันที

ตอนที่เราสุ่มเลือกหนึ่งประตูแบบไม่รู้อะไรเลย ความน่าจะเป็นที่จะได้รางวัลจะเท่ากันหมด = 1/3

ถ้าเราเลือกประตูบานที่หนึ่ง Monty เลือกเปิดประตูบานที่สาม ความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนเป็นแบบนี้

Mind Blown !!! ตอนนี้ความน่าจะเป็นของประตูบานที่สองที่จะได้รางวัลเพิ่มขึ้นเป็น 2/3 และเราแปลความหมายของสมการด้านได้แบบนี้

• ถ้าเรายังยืนยันว่าจะเอาประตูบานแรกที่เราเลือก เรามีโอกาสได้รางวัลกลับบ้านแค่ 1/3 (fixed) เพราะตอนแรกที่เราเลือก อย่าลืมว่าเราเลือกจากทั้งหมด 3 ประตู
• การที่ Monty เปิดประตูบานที่สามที่มีแพะอยู่เป็นการให้ข้อมูลเรามากขึ้น แปลว่าตอนนี้มีโอกาสสูงมากที่รถยนต์จะอยู่หลังประตูบานที่สอง (ลองคิดดีๆ)
• การตัดสินใจเปลี่ยนประตู increase chance ที่เราจะได้รถยนต์กลับบ้านเป็น 2/3 หรือ 0.67

---

The Takeaway

Probability Axioms ที่สำคัญคือ  เสมอ ถ้าสถานการณ์หรือตัวแปรเปลี่ยน ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ก็จะเปลี่ยนเช่นกัน – Always account for variable change – อย่าปล่อยให้อารมณ์ชี้นำแต่ใช้ข้อมูลและความน่าจะเป็นในการตัดสินใจ กล่าวโดย Micky Rosa จากภาพยนตร์เรื่อง 21

People, remember, if you don’t know which door to open, always account for variable change.

— Micky Rosa

โดยรวมหนังเรื่องนี้ก็สนุกดี ส่วนตัวแอดก็ดูเพลินๆแถมได้ฟังเรื่อง Monty Hall ด้วย ใครสมัคร Netflix ไว้ก็ลองเปิดดูได้เลยสุดสัปดาห์นี้ ความสนุกเอาไป 7/10 คะแนน

---

Still Not Convinced?

ถ้าใครยังไม่เชื่อ ลองคิดในหัวเล่นๆถ้าวันนี้มี 100 ประตูให้เราเลือก แล้ว Monty ไล่เปิดประตูอื่นๆที่มีแพะไปเรื่อยจนสุดท้ายเหลือแค่สองประตู — ถ้าเรายืนยันประตูเดิมโดยไม่เปลี่ยนใจ ความน่าจะเป็นที่เราจะได้ของรางวัลกลับบ้านจะอยู่ที่ 1/100 = 0.01 แต่ถ้าเปลี่ยนใจ ความน่าจะเป็นที่จะได้รางวัลจะเท่ากับ 99/100 = 0.99 make sense?

DataRockie — Get One Percent Better Everyday